我們說「點在橢圓上」，一般是指點在橢圓周上；說「點不在橢圓上」或「點在橢圓外」，一般都是指點不在橢圓周上。 橢圓（ellipse）和蛋形（oval）在外觀上有些相似，在非數學資料中有時會互譯，但在數學上並不是同一個概念。 環線作圖方法，屬於連續移動作圖法，適合不同大小的圓、橢圓和卵圓等作圖。 橢圓畫法 橢圓是封閉式圓錐截面：由錐體與平面相交的平面曲線。 橢圓與其他兩種形式的圓錐截面有很多相似之處：拋物線和雙曲線，兩者都是開放的和無界的。 圓柱體的橫截面為橢圓形，除非該截面垂直於圓柱體軸線。
穿過兩焦點並終止於橢圓上的線段AB叫做長軸。 長軸是通過連接橢圓上的兩個點所能獲得的最長線段。 穿過中心（兩焦點的連線的中點）垂直於長軸並且終止於橢圓的線段CD叫做短軸。 半長軸（圖中指示為 a）是長軸的一半：從中心通過一個焦點到橢圓的邊緣的線段。
橢圓畫法: 橢圓規用法
因此，它是圓的概括，其是具有兩個焦點在相同位置處的特殊類型的橢圓。 橢圓的形狀（如何“伸長”）由其偏心度表示，對於橢圓可以是從0（圓的極限情況）到任意接近但小於1的任何數字。 焦點在x軸上的橢圓和在y軸上的橢圓，幾何性質沒有本質的區別，只是坐標系的選取角度的差異。 在論證橢圓的幾何性質時，我們往往只需要巧妙選擇坐標系，針對焦點在x軸的標準橢圓進行處理，此時得到的結論也會適用於朝向不同方位的其它橢圓。
由於兩個固定點之間的距離也是一定的，所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀，然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。 N為1時，超橢圓的圖形為一菱形，四個頂點為（±a, 0）及（0, ±b）。 N在1和2之間時，超橢圓的圖形類似菱形，四個頂點位置相同，但四邊是往外凸的曲線，越接近頂點，曲線的曲率越大，頂點的曲率趨近無限大。
橢圓畫法: 橢圓規概念
刻意考察和鍛鍊學生在代數變形、整體思維方面的能力。 很多弦長、中點、垂直、斜率一類的問題最終都能設法用二次方程的係數關係表示出來，檢驗學生轉化問題的能力。 上述橢圓與定點、定直線之間的固定比例關係也被用作橢圓的定義，在中學教科書或參考資料中常稱為「橢圓的第二定義」。 不過，與先前所學的圓不同的是，橢圓還有好幾種特有性質都可以用作其定義。 換句話說，橢圓具有多種等價的定義方式。
- 橢圓與其他兩種形式的圓錐截面有很多相似之處：拋物線和雙曲線，兩者都是開放的和無界的。
- 三十年後高德納設法選擇了介於橢圓及超橢圓之間的曲線（兩者都用样条函数近似），作為他的Computer Modern字體。
- 我們先看一般情形下的基本技巧和常用結論。
- 解法2很方便得到軌跡方程，但是不方便直接給出精確的取值範圍，所以我們只選擇結合文字說明。
- 其中的定點就是所得橢圓的焦點之一，比例常數就是橢圓的離心率，而定直線叫做橢圓的準線（directrix）。
- N為1時，超橢圓的圖形為一菱形，四個頂點為（±a, 0）及（0, ±b）。
使學生在解題過程中體會設而不求、整體代換這種數學思想的巧妙與優雅。 不難發現不論是焦點在x軸還是在y軸，標準橢圓的長軸長度永遠是2a，短軸長度永遠是2b。 當長軸和短軸變為一樣長時，橢圓退化為圓形。 （6）：截取H，G對於O點的對稱點H’，G’ ⑺：H，H’為長軸圓心，分別以HA、H‘B為半徑作圓；G，G’為短軸圓心，分別以GC、G‘D為半徑作圓。
橢圓畫法: 橢圓離心率
它是圓錐曲線的一種，即圓錐與平面的截線。 我們已經知道橢圓上任意一點到其中一個焦點的連線段都叫做焦半徑。 這裡我們給出焦半徑的另一種與弦的傾斜角有關的計算公式。 橢圓畫法 在有關橢圓的問題中，最為常見的是直線和橢圓的相交問題。
4.選中點G和點E（把點E稱做是點G的相關點，改變G點的位置，點E的位置也跟著改變），選擇“構造”—“軌跡”命令，可畫出橢圓。 手工作法：先剪下一張圓紙片，在圓心之外任意取一點，然後把圓紙片的邊緣折到這個點上得一條摺痕。 同樣方法折出盡可能多的摺痕，這些摺痕的包絡，就是一個橢圓。 這個參數方程揭示了兩個方向相互垂直的簡諧運動(表現為具有周期性的簡諧波)合成了閉合的橢圓形周期性運動（表現為軌跡是橢圓）。
橢圓畫法: 橢圓橢圓簡介
橢圓是一種圓錐曲線：如果一個平面切截一個圓錐面，且不與它的底面相交，也不與它的底面平行，則圓錐和平面交截線是個橢圓。 三十年後高德納設法選擇了介於橢圓及超橢圓之間的曲線（兩者都用样条函数近似），作為他的Computer Modern字體。 下面是利用長半軸a和半焦距c來確定橢圓的形狀和大小。 在戰國早期甚至更早的時候，中國的先民就已經發明並在使用圓規。
- 選中線段EF2，執行“構造”—“中點”命令，構造線段EF2的中點F。
- 具體操作可看圖2、圖3（點擊看動態圖）。
- 橢圓第一定義：平面內與兩個定點F1、F2的距離之和等於常數(大於|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距。
- 我們就把橢圓的中心對稱點（對稱中心）叫做橢圓的中心（center of an ellispe）。
- 橢圓規是畫橢圓的一種儀器，由一根直杆和一個支架構成。
- 4.選中點G和點E（把點E稱做是點G的相關點，改變G點的位置，點E的位置也跟著改變），選擇“構造”—“軌跡”命令，可畫出橢圓。
移動滑標，其下面的旋杆能作360°的旋動畫出符合橢圓方程的橢圓。 對橢圓（或橢球）的標準化處理是很常用的技巧，例如剛體力學中尋找轉動慣量的慣量主軸、統計學中主成分分析都要用到。 提示：焦點的英文複數形式「foci」讀作/ˈfəʊ.kʰaɪ/（英式）或/ˈfoʊ.sʰaɪ/（美式）。 希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。 其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。 將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓，它們碰到截面的時候停止，那麼會得到兩個公共點，顯然他們是截面與球的切點。
橢圓畫法: 橢圓幾何關係
市場上橢圓規主要分為兩種，第一種是新型橢圓規，第二種是傳統橢圓規。 橢圓畫法 ）既不是相等的關係，也不是均勻變化的關係（也即非線性的）。 前文所提到的數學家拉伊爾曾給出關於參數t的確切幾何含義。
存在2個解，所以剛好就有有判別式大於0這個條件可以用上。 解法2很方便得到軌跡方程，但是不方便直接給出精確的取值範圍，所以我們只選擇結合文字說明。 下面提供聯立直線與標準橢圓方程的一些通用中間步驟供參考，讀者可以在解題時對照其中的係數，減少計算失誤。 說明解析幾何雖然涉及龐大計算量，但可以通過巧妙的代換方法適當簡化問題，而不是一味硬算出所有結果。
橢圓畫法: 橢圓直線與橢圓
關於簡諧運動合成效果的更一般的情形，可以見於常見平面曲線及其參數方程一節的介紹。 ，本節前文中又提到橢圓可視為是由圓通過伸縮變化得到的圖形，由此不難料想橢圓也存在與之形式相似的參數方程。 橢圓畫法 過點F的一動直線m繞點F轉動，並且交橢圓於A、B兩點。 P是AB的中點，O為橢圓的中心，也即此時的原點。 求證直線AB和直線OP的斜率之積是定值。
常見考察點包括求直線與橢圓相交時的弦長、弦中點、夾角、軌跡，其中又以通過焦點的弦性質最為特殊。 我們先看一般情形下的基本技巧和常用結論。 當動點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比為大於0且小於1的常數時，其軌跡就是橢圓周。 其中的定點就是所得橢圓的焦點之一，比例常數就是橢圓的離心率，而定直線叫做橢圓的準線（directrix）。
橢圓畫法: 橢圓的標準方程
半短軸（圖中指示為 b）是短軸的一半。 ，如果求出它關於x軸、y軸、原點的對稱點的坐標，也容易發現這些對稱點也都滿足原來的橢圓方程。 都叫做橢圓的焦點（focus，複數形式：foci），它們是該定義下橢圓的構造基礎；c叫做半焦距，它描述了焦點偏離其橢圓幾何中心的程度。 橢圓也可以被定義為一組點，使得曲線上的每個點的距離與給定點（稱為焦點）的距離與曲線上的相同點的距離的比值給定行（稱為directrix）是一個常數。 這個參數方程揭示了2個方向相互垂直的簡諧運動可以合成閉合的橢圓形周期性運動。
這種方法用到二次曲線之間作差和平方差公式化簡技巧，因此被叫做點差法。 橢圓第一定義：平面內與兩個定點F1、F2的距離之和等於常數(大於|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距。 橢圓周上任意一點到其中某個焦點的距離叫做到該焦點的焦半徑。 對於橢圓周上的每個點，都有2個不同的焦半徑。 我們先來說明，如何藉助準線方程來得出焦半徑的計算公式。 在數學中，橢圓是平面上到兩個固定點的距離之和是同一個常數的軌跡。